概率分布

1. 二项分布

1.1. 二项分布公式

二项分布的密度函数：
  $P(X=k)={C_n^k}{p^k}{(1-p)^{n-k}}，k=0,1,2,…，n$

二项分布$B(n,p)$的期望和方差：
  $E(X)=np, Var(X)=npq$

1.2. 二项分布归纳

如果 $\pi$ 保持不变，随着 $n$ 的增加，分布的形状变得越来越对称。

2. 超几何分布

2.1. 超几何概率试验

• 一个试验过程中每次试验的结果必然属于成功和失败这两个互不相容类别中的一个；
• 在一个试验次数固定的试验过程中，随机变量就是成功的次数；
• 试验不是独立的；
• 假设样本是从有限总体中无放回抽取的，且$n/N > 0.05$。因此，每次试验中成功的概率会发生变化。

超几何分布的公式：

$P(x)=\frac{C_S^xC_{N-S}^{m-x}}{C_N^m}$

当 $n/N < 0.05$，二项分布可以用来近似超几何分布。也就是说：当样本容量小于总体容量的 $5%$ 时，二项分布就足够了。

3. 泊松分布

3.1 泊松分布公式

泊松分布的密度函数：
    $P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$

泊松分布的期望和方差：
    $E(X)=\lambda$，$Var(X)=\lambda$

3.2. 泊松分布举例

假设到图书馆上自习的同学有一定固定频率，比如平均每个小时 $\lambda$ 人。请问下一个小时有多少同学到图书馆上自习？

• 假设平均每个小时有6 个同学到来，未来一小时没有同学$(k = 0)$ 到来的概率是多少？

        $P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}{e^{-\lambda}}=\frac{6^0}{0!}{e^{-6}}=0.002478752$

• 未来2 小时至少有2 个同学$(k > 2)$来访的概率是多少？这里需要将泊松分布公式改写一下，加入时间t：

        $P(X(t) = k) =\frac{(\lambda t)^k}{k!}{e^{-\lambda t}}$

则有：

        $P(X(t) >2) = 1-P(X(t) = 1,0) = 0.9999201$

4. 指数分布

4.1 指数分布公式

• 指数分布的密度函数：：$f(x)={\lambda e}^{-\lambda x}, \lambda>0$

• 指数分布的期望和方差：：$E(X)={\frac 1 \lambda}, Var(X)={\frac 1 \lambda}$

• 指数分布$E(\lambda)$概率函数：：$P(X \leq t)=1-P(X > t)=1-e^{-\lambda t}$

4.2. 指数分布举例

• 未来10 分钟，有同学到来的概率：

        $P(X \leq\frac 1 6)=1-e^{-6 \times \frac 1 6}=0.6321206$

• 未来10 分钟到30 分钟，有同学到来的概率

        $P(\frac 1 6 \leq X \leq \frac 1 2)=(1-e^{-6 \times \frac 1 2})-(1-e^{-6 \times \frac 1 6})=0.3180924$

4.3. 指数分布与泊松分布的关系

• 泊松分布是单位时间内独立事件发生次数的概率分布；
• 指数分布是独立事件的时间间隔的概率分布。

5. 以上分布的R函数表示

Distribution	R name	additional arguments
beta	beta	shape1，shape2，ncp
binomial	binom	size，prob
Cauchy	cauchy	location，scale
chi-squared	chisq	df，ncp
exponential	exp	rate
F	f	df1，df2，ncp
gamma	gamma	shape，scale
geometric	geom	prob
hyper geometric	hyper	m，n，k
log-normal	lnorm	meanlog，sdlog
logistic	logis	location，scale
negative binomial	nbinom	size，prob
normal	norm	mean，sd
Poisson	pois	lambda
signed rank	signrank	n
Student’st	t	df，ncp
uniform	unif	min，max
Weibull	weibull	shape，scale
Wilcox on	wilcox	m，n